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简单线性回归

相关定义

• 所谓简单，是指只有一个样本特征，即只有一个自变量；所谓线性，是指方程线性；所谓回归，是指可以用方程模拟自变量和因变量如何关联- 简单线性回归属于回归算法，即lablel(标签列)为连续性数值
• 数学思想，通过线性方程来预测因变量与自变量的关系

  y为预测标签值，x为样本特征变量，b为截距项(调整预测值与实际值的误差)Y=ax+b

求解思路

• 确定一条直线，最大程度来拟合样本特征和样本标签值之间的关系。在二维平面，这条线就是y=ax+b

  

• 最佳拟合直线方程:y=ax+b。对于每个样本点，预测方程

  

• 误差统计，计算所有样本点的真实值和y(i)和预测值y^(i)的差值作为预测误差，误差都小，证明我们找出的线程方程拟合性好

  • 1.防止正误差值与负误差值相抵，使用绝对值来表示距离：
    
  • 2.样本总误差：
    

• 使用训练数据样本x,y，找到斜率和截距，是样本总误差尽可能小，得出最佳拟合方程

  

推导过程

• 简单来说，就是找到一组参数，是真实值与预测值的差距尽可能减小，尽可能跟你和我们的数据，这是典型机器学习算法的推到思路- 简单线性回归问题中，模型就是y = ax + b
• 损失函数(loss function):模型无法100%拟合数据，因此需要将未拟合的部分，损失降到最小。标示模型拟合程度，亦称效用函数(utility function)
  
• 推导思路

  1.分析问题，确定问题的损失函数2.通过最优化损失函数，获得机器学习模型3.对于简单线性回归问题，目标就是降低样本实际值和预测值得误差

• 最小二乘法(最小误差的平方)，将线性回归损失函数的误差优化到最低,并通过其求出关于a,b线性方程的表达式
  

最小二乘法

• 损失函数作用，所有算法模型都依赖于最小化和最大化某一个函数，我们称之为”目标函数”
• 损失函数描述了单个样本预测值和实际值之间的误差程度。用来度量模型一次预测的好坏
• 损失函数越小，模型鲁棒性越好，亦即模型泛化能力越强，对大部分数据集都有较好预测效果
• 常用损失函数
  • 0-1损失函数：用来表达分类问题，当预测分类错误时，损失值为1，正确为0
    
  • 平方损失函数：用来描述回归问题，用来表示连续性变量，为预测值与真实值差值的的平方
    
  • 绝对损失函数：用在回归模型，用距离的绝对值来衡量
    
  • 对数损失函数:预测值Y和条件概率之间的衡量。该函数用到极大似然估计的思想。P(Y|X):在当前模型基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间同时满足需要用乘法，为了将其转换为甲方，将其取对数。预测正确率越高，其损失值(对数值）越小，在取个反号(小于1的对数为负值)
    
• 损失函数针对于单个样本的，但是一个训练数据集中存在N个样本，N个样本给出N个损失值，需要通过风险函数
• 期望风险，又叫损失函数的期望，用来表达理论上模型f(x)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失，又叫期望损失/风险函数
  
• 经验风险，将训练集的总损失定义为经验风险
  
• 结构风险，其等价于正则化，环境数据集过小导致的过拟合现象，本质反应的模型复杂度，经验风险越小，参数越多，模型越复杂。虽然可以经验损失近似估计期望风险，但是大数定理的前提是N无穷大，然而实际上，训练集不会特别大，此时需要适当调整经验风险来进行近似估计。 ## 小结- 损失函数：单个样本预测值和真实值之间的误差(值)程度- 期望风险：是损失函数的期望，理论上模型f(X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义的损失- 经验风险：模型关于训练集(所有样本实际值和预测值的误差值的平均值)得平均损失，即每个样本损失加起来，再平均一下- 结构风险： 在经验风险加一个正则化像做惩罚项，防止数据分布、数量小等原因引起的过拟合
  

最小二乘法

• 所谓二乘，就是平方的意思。高斯证明过：如果误差分布是正太分布，那么最小二乘法得到就是最有可能的值

• 最小二乘法来自数学家阿德里安的猜想: 对于测量值来说，让总的误差平方最小就是真实值。这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。因为误差为确定值，还要去绝对值，计算麻烦，故用平方代表误差。

  • 单个样本误差
    
  • 训练集总的误差
    

• 数学猜想符合直觉，其为一个二次函数，对其求导，导数为0时取得最小(高数中范围内判断极最值的定理)

  

• 继而有，正好是算术平均数，可以让误差最小

  

• 算术平均数只是最小二乘法的特例，使用范围较窄，而最小二乘法应用广泛，如温度与冰激凌的销量之间的关系- 冰激凌与温度的关系

  

• 如用线性关系去刻画，会有如下结果，可以假设该线性关系为：f(x)=ax+b

  

• 如用最小二乘法来表示

  

• 上图i,x,y分别为

  
  • 总误差的平方为
    
  • 通过多元微积分对a,b(不同a,b会导致不同误差)求偏导得
    
  • 这时候误差取最小值，通过解得上述方程组，得出a=7.2,b=-73，为近似值。刻画关系为：
    

简单逻辑回归代码实现

• python实现

import numpy as npclass SimpleLogisticRegression:  def __init__(self):      pass  @staticmethod  def get_input_data():      x = np.array([1., 2., 3., 4., 5.])      y = np.array([1., 3., 2., 3., 5])      return x,y  def get_a_b(self, x, y):      """      根据训练集，和标签值计算线性关系的斜率和截距      使用直线关系去拟合，根据最小二乘法推到求出a,b表达式      a = all( Xi- avg(x)) /all(Xi-avg(x))^2  b = avg(y) - a*avg(x)      :param x:      :param y:      :return:      """      x_mean = np.mean(x)      y_mean = np.mean(y)      # a的分子num，分母d      num = 0.0      d = 0.0      # zip将集合x,y按原始排列顺序合并在一起      # 打包成[(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)]      for x_i, y_i in zip(x, y):          num = num + (x_i - x_mean)*(y_i - y_mean)          d = d + (x_i - x_mean) ** 2      a = num / d      b = y_mean - a * x_mean      return a, b    @staticmethod  def get_linear_function(a,b,x):      y_hat = a * x + b      return y_hat    if __name__ == '__main__':  demo = SimpleLogisticRegression()  x,y = SimpleLogisticRegression.get_input_data()  a,b = demo.get_a_b(x,y)  # 预测标签值  predict_value = demo.get_linear_function(a,b,3.0)  "{}的值为{}".format(3.0,predict_value)  ````

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